Возник спор с директором и бухгалтером

Вы совершенно правы. Сейчас все записи в трудовую книжку работника, занятого у ИП, вносятся точно так же, как и записи в трудовые книжки работников обычных организаций. Сокращения в наименовании работодателя – физического лица не допускаются.
Пример записи
с

понимаете все зависит от налогов и взносов
которые определяются условиями, на которых
вас приняли на работу, раз вам сделана запись
в трудовой, значит платить налоги и взносы за вас
будут как за обычного работника, а иначе с вами просто
бы заключили договор гражданско-правового характера

Согласно п. 3.1 Инструкции в графе 3 раздела "Сведения о работе" трудовой книжки в виде заголовка указывается полное наименование организации, а также сокращенное наименование организации (при его наличии) .

Под этим заголовком:

- в графе 1 ставится порядковый номер вносимой записи,

- в графе 2 указывается дата приема на работу.

- в графе 3 делается запись о принятии или назначении в структурное подразделение организации с указанием его конкретного наименования (если условие о работе в конкретном структурном подразделении включено в трудовой договор) , наименования должности (работы) , специальности, профессии с указанием квалификации,

- в графу 4 заносятся дата и номер приказа (распоряжения) или иного решения работодателя, согласно которому работник принят на работу.

Вообще-то все это есть в яндексе. Ничего сложного - набрала в поисковике, кликнинула, ответ готов. Сначала нужно указать организацию, а потом делать запись о приеме.