Сотрудница подала заявление об увольнении, начальство подписала его через несколько дней. теперь просят ее отработать?

Сотрудница не права, так как:
Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
[Трудовой кодекс РФ] [Глава 13][Статья 80]

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Заявление подписано. По Закону подается за две недели до увольнения. Прошло две недели - до свидания. Если приказ об увольнении был подписан раньше - до свидания

Ваш шеф негодяй, дайте ему понять, что вы готовы на все ради пары дней отдыха

это на усмотрение руководителя, отрабатывать ей или нет. на заявлении руководитель ставит свою резолюцию ( подпись и надо ли отрабатывать)

Сотрудник обязан уведомить руководство о своем увольнении не позднее, чем за две недели. Срок начинается с дня, следующего не за днем написания заявления, а днем, когда руководитель это заявление получил.
Так что отталкиваться придется всё-таки от даты принятия руководителем заявления, а не от даты его написания.

Сотрудница должна отработать 2 недели, со дня написания заявления, а не со дня подписания Директора. т. е Пример: Прошу уволить меня по собственному желанию" ставится дата написания данного заявления и ваша подпись. И с этой даты будет отсчитываться 2 недели отработки, даже если оно будет подписано через 1 неделю.