Может ли организация существовать без "отдела кадров" ?

Вполне может, но:
...Практическое воплощение мнения по поводу передачи функций кадровика секретарю или бухгалтеру часто приводит к кадровым ошибкам. Так, например, на практике часто встречаются неправильно оформленные трудовые договоры, нарушающие права работника... .

Из-за чего впоследствии проблемы с подтверждения страхового стажа при выходе на пенсию.

"..С октября 2006 года в ТК РФ внесены значительные изменения, что позволяет кадровым службам (отделам) или ***иным сотрудникам, выполняющим кадровую работу***, более ответственнее относится к оформлению трудовых отношений с работниками (особенно к заключению трудового договора).. "

Ляхко.
Особенно, если в фирме сотрудников можно сосчитать на пальцах.

А потом может сложиться такая ситуация, что директор может начать не успевать оформлять сотрудников, больничные, отпуска и прочие декреты. В этом случае придется как-то распределять обязанности.

Конечно может. Более того, в некоторым маленьких организациях функцию кадровика вообще выполняетя бухгалтер.

На основании Устава директор может все.

Моя дочь работает в фирме начальницей отдела кадров из неё одной и состоящего.

Отдел кадров - когда надо тетку мужнину пристроить. А нормальная контора и без ОК обойтись может

Может, если он может, т. е. если он умеет этим заниматься. А то вот так напринимают, понапишут в трудовых кто на что горазд, а потом люди по судам маются и доказываю, что было, а чего не было.

я думаю что на основании соотв. приказа можно