Подскажите, возможно ли не делать запись в трудовой, если я отработала всего 10 дней и решила уволиться???

Работодатель обязан вести трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, если работник не является совместителем (ч. 3 ст. 66 ТК РФ) .

Т. е. скорее всего запись уже внесена в трудовую. А если и нет, то что Вы хотитие попросить у работодателя? Что бы он нарушил ст. 66 ТК РФ? Ну, если у него совсем головы на плечах нет, может быть и выполнит Вашу просьбу, он же несет административную ответственность.

Запись делается при издании приказа о приеме на работу и при увольнении. От твоего желания не зависит

Ага! Тебе не сделают запись - а ты в прокуратуру жалобу накатаешь!

в нормальной конторе запись уже должна быть. поговори с кадровиками, если не сделали - может, повезет)))

Нет. Потому что такую запись уже обязаны были сделать, если вы отработали более пяти дней.
"Подписала трудовой договор" - а если уже есть подписанный трудовой договор, то и запись о приеме на работу кадровики просто обязаны поставить вам в трудовую.
"Ну так я письменно откажусь, заявление напишу" - какое именно заявление? Вы сейчас имеете право написать только одно заявление: об увольнении. За ДВЕ недели до увольнения, на испытательном сроке - за три дня. Так что получится, что вы отработаете в этой фирме: 10+14= 24 дня.