подскажите пожалуйста, стоит ли подавать трудовую книжку на печать отделу кадров, если я проработал всего один месяц?

Вообще-то трудовая книжка должна находится у работодателя, а не у вас на руках, и запись о приеме на работу производится в обязательном порядке если работник отработал более 5 дней. (Инструкция по заполнению трудовых книжек, утверждённая Постановлением Минтруда России от 10.10.2003 N 69).
Другое дело, если вы работали неофициально и работодатель за вас не уплачивал страховые взносы в ПФР, то и записи в трудовой книжке не может быть, т.к. в стаж засчитывается только тот период работы, когда за вас работодатель уплачивал страховые взносы в ПФР.

А почему она у тебя на руках? Скорее всего, ты просто не оформлен...

если не взяли книжку сразу, но договор вы подписывали, скорее всего, вы работали по договору услуг или гражданско- правовому, в этом случае книжка им не нужна. Сохраняйте этот договор, он подтвердит вашу работу в случае, если вдруг стаж и по ним будет засчитываться, сейчас идут разговоры в Думе по этому поводу, правда, при условии, что они отчисляли за вас взносы в ПФР. Вы уточните в ОК были ли отчисления и если у вас договор есть, требуйте перечисления, это ваше право, а их обязанность.

Стоит. При начислении пенсии, если нее будет хватать 2 дня, то в стаж не зачтут месяц, а если не хватит месяца, то в стаж не зачтут год. А в том возрасте все будет важно. И справку в ОК возьмите, что работали, а то в подтверждение к трудовой книжке еще и справку требуют при оформлении пенсии.

Людмила, все верно.