если парень проработал на частной фирме пол года, официально. . .положен ли ему отпуск?

работодатель и не обязан принимать заявление об увольнении по соглашению сторон. для того, чтобы уволиться по соглашению сторон необходимо согласие двух сторон: работника и работодателя. если работодатель не согласен, то ни какой суд не заставит его уволить работника по соглашению.
право на очередной оплачиваемый отпуск наступает после 6 месяцев непрерывной работы, а отправить в отпуск без сохранения заработной платы можно только по инициативе работника, по собственной воле работодатель не имеет права этого делать.

а любое заявление на "отгул с последующей отработкой" - это филькина грамота. работодатель может его просто в помойку выкинуть и заявить, что работник прогулял. другой вопрос, что существуют сроки давности. уволить за "прогул", который был больше месяца назад не получится.

если очень хочется отстоять свои права - то идите в труд. инспекцию, потом в суд.

если просто хочется расстаться с этим работодателем, значит пишите заявление об увольнении по собственному желанию и через 2 недели вы абсолютно свободны. не забудьте, что при увольнении работодатель обязан выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск.

Оплачиваемый отпуск положен.Можно жаловаться в Инспекцию по труду,но после этого скорее всего работать не придётся на этом месте.Так что лучше поискать другое место.Я сделала именно так : 8 лет брала отпуск за свой счёт,начальник говорил,что у него нет соцпакета и не будет.Всё боялась уйти,ушла и нашла супер работу!

ВЫ ПРАВЫ, но с таким работодателем только через суд.... идите к юристу по трудовым спорам, он скажет, как действовать.