можно ли уволить сотрудника не прошедшего испытательный срок без объяснения причин

Нет конечно, вообще это очень коварное основание, причём требующее доказательств.
Процедура установления испытания сходна с аттестацией. Должно быть разработана программа испытания для КАЖДОЙ ДОЛЖНОСТИ на основе должностной инструкции, работник ознакомлен под роспись, создана комиссия (компетентная!!!!), во время ИС даваться задания письменно с разбором ошибок и соблюдена процедура. Малейшее отклонение и суд признает увольнение не законным и востановит работника, сл всеми вытекающими последствиями.
Соглашусь с Александрой Харченко, что доказать принуждение при увольнении по собственному желанию сложно, но можно. Особенно если были какие нибудь уведомления работнику, не обоснованные взыскания, создание не выносимых условий на работе и т. д. К тому же по заявлению работника возможна внеплановая проверка ГИТ, а что она нароет???? Мой личный опыт говорит, что в детсадах и прочих бюджетных организациях, соблюдение законности сильно хромает и косяки торчат очень часто.
Отсюда вывод, восстановление возможно через суд, в зависимости от доказательств которые она сможет предъявить.

Не можно.
Открываем статью 71 Трудового кодекса и внимательно её читаем: "При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд".
Видим. что уволить за непрохождения испытания можно только при соблюдении определённой процедуры, по которой нужны:
- письменное уведомление работника;
- направление его не меньше чем за три дня до окончания срока;
- указание причин, по которым работник испытание не прошел.
В случае судебного спора доказывать, что испытание действительно не выдержано, будет работодатель.

А вот в случае увольнения по собственному желанию да при наличии собственно ручного заявления работника, совершенно неважно, что там говорилось устно (если, конечно, нет письменных следов и свидетелей). Доказывать что уволится по собственному "заставили" должен сам работник. Судя по прочитанной практике судов аргумент "а мне сказали, что я не прошел испытание и так уволят" - в качестве доказательства будет принят вряд ли.

Можно... это я к тому что причину на всяк случай можно придумать любую... но на исп сроке от руководителя зависит когда человек уйдет или останется...))

можно, но лучше сказать честно по какой причине уволили, если сотрудник спросит.