Работодатель не оформляет официально (никакого договора нет), но требует, чтобы я передал ему трудовую. Это нормально?

Вообще-то при трудоустройстве трудовая книжка передается работодателю. Это требование ТК РФ. Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора.

Нет. Требуйте заключения трудового договора и внесения при Вас записи в трудовую книжку или не давайте её.

для вас и по закону ненормально. а для него при таком раскладе может и нормально.. дабы не сбежали после первой зарплаты без привета и ответа))

нет, так не должно быть, вы же работаете формально

Если вы передадите трудовую книжку нанимателю, взамен он должен дать вам второй экземпляр трудового договора... если вам не дали заверенный подписями и печатями трудовой договор, вы работаете неофициально не имея право ни на что..., даже на зарплату.

Нет, это не нормально.
При устройстве в фирму на испытательный срок (до 3 мес) и даже с серой зарплатой (например официальную заплату вам сделают 15000р \мес) работодатель обязан подписать с вами трудовой договор. Трудовую работодатель забирает в первый же день и хранит у себя до вашего увольнения.

Почему могут не делать? Только в случае, когда заведомо не хотят выполнять все заявленные вам условия. Либо в случае, когда вас не хотят вообще официально оформлять (платить за вас налоги и выполнять обязательства перед работникам).

Оформить трудовой договор могут с небольшой задержкой - до 3 дней, - не более. Типичный пример: взяли трудовую, договор не дали, сказали работай, ты на испытательном. Работаете месяц - вам платить не хотят - говорят, не подошел, гуляй Вася.

В таком случае, вам придется идти в суд, судиться с ними и доказывать, что вы все-таки у них работали. Будете бегать по судам и сами собирать доказательства.