Возможна ли работа по трудовой без трудового договора?

Нет. В течение трёх дней с момента вашей фактической работы работодатель обязан заключить трудовой договор с вами, в течение пяти дней работодателю необходимо сделать запись в трудовую книжку. Ваша ситуация попахивает обманом. С чего вы взяли, что запись в трудовую сделана? Это было в вашем присутствии? А то, что документы взяли - это совершенно ничего не значит.

Что значит "работать по трудовой"? В трудовой книжке лишь фиксируются даты заключения трудового договора и даты его расторжения...

Вам уже отвечали на ваш вопрос. Что вам мешает подойти к работодателю и просить выдать вам на руки ТД?

Только трудовой договор заключенный надлежащим образом является основой (подтверждением) трудовых отношений. Не забываем. что Вам обязаны выдать экземпляр ТД.
В Вашем случае, при проблемах, можно апелировать:
Статья 67. Форма трудового договора
...
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
....

Статья 67.1. Последствия фактического допущения к работе не уполномоченным на это лицом

Если физическое лицо было фактически допущено к работе работником, не уполномоченным на это работодателем, и работодатель или его уполномоченный на это представитель отказывается признать отношения, возникшие между лицом, фактически допущенным к работе, и данным работодателем, трудовыми отношениями (заключить с лицом, фактически допущенным к работе, трудовой договор), работодатель, в интересах которого была выполнена работа, обязан оплатить такому физическому лицу фактически отработанное им время (выполненную работу).
....

Кстати, чтобы быть уверенным в сохранности ТК помните, что её должны не просто взять, а ЗАРЕГИСТРИРОВАТЬ в книге учёта и движения ТК организации. Поэтому можете смело настаивать, чтобы её регистрировали при Вас.
Но так же стоит сказать, что по причине бардака существующего во многих организациях или ведения кадрового учёта не специалистами, вполне возможно и оформление документов позднее установленных сроков, увы.