могу ли уволитьс без отработки.

Если руководство требует, обязан отработать.

ТК РФ обязывает вас предупредить работодателя о своём увольнении за 2 недели. Так что ваш руководилель формально прав.

Есть лазейка: с формулировкой "по соглашению сторон" можно увольиться день в день, но, судя по описанной вами реакции начальника, никаким соглашением в вашем случае не пахнет.

Могут уволить по статье за прогул, начальник прав- по законодательству за 2 недели нужно предупредить. Поэтому если необходимо уйти одним днём, то только путём согласования это решается, а у Вас уже не получилось . Если действительно отработать нет возможности- возьмите больничный на 2недели и, не выходя из больничного, напишите заявление на увольнение. В таком случае, больничный будет считаться отработкой. В последний день больничного придите в офис и уладьте все формальности- забрать трудовую, передать дела и рабочее место.

Никакой это не регламент компании, это ТК РФ банальным образом.
Можешь и не выходить, уволят по статье за прогулы.
Ты кидаешь, тебе поблажки не дают - всё нормально.

Это только на усмотрения начальства.

Ты должен заявление написать не менее чем за 2 недели, до увольнения.
А что конкретно ты будешь делать в эти 2 недели, не важно. Можешь в отпуск уйти или на больничный.

Нет никакой отработки.
По закону, вы должны за две недели уведомить работодателя о своем уволнении.
Не уведомили? - Уведомляйте и работайте две недели...