нужно ли отрабатывать 2недели

Нужно. Но поробуйте договориться, а лучше напйти себе достойную замену.

выходи на новую работу, возьми больничный и напиши заявление на увольнение

Это на усмотрение руководителя. Договоритесь по-хорошему.

если отпуск не гулял, можно написать заявление на отпуск на 2 неделе и одновременно на увольнение. Или же больничный взять, и также написать на увольнение одновременно

Есть вариант уход "из за перемены места жительства"

в этой грёбаной стране всё зависит не от законов, а от их толкования. в тк написано, что отрабатывать не надо, но многие могут тебя не понять.

Если прежний работодатель не согласен вас отпустить сразу, надо отработать. А новый подождет. В конце концов, и от него вы когда-то будете увольняться. Торопливость тут ни к чему. Торопливый работодатель и выгонит вас также быстро, как примет.

Две недели дается по закону для того, чтобы работодатель нашел нового сотрудника. Это уж так привыкли -отработка. Есть несколько вариантов. Подойдите к руководителю, поговорите. Можно уволиться по соглашению сторон в течении одного дня, можно предложить кого-то вместо себя. Можете уволиться за прогул. Это не страшно.

уйти на больничный.... а на новой работе выйти.... через две нед. трудовую принести на оформление.

отработка по усмотрению администрации

нужно уволится по соглашению сторон, либо всвязи с уходом за ребенком до 14 лет (если есть) , либо всвязи с переездом в другой город. это нужно в заявлении уточнить. об этом конечно лучше поговорить с начальством.