Нормально ли считается работать первую неделю без труд.договора?

Это может быть обманом.
Во-первых, оформление на работу должно происходить в первый рабочий день.
По ТК (статья 66) запись в трудовой книжке полагается каждому работнику (не совместителю) , проработавшему в компании больше пяти дней. И совершенно не важно, что вы работаете временно или находитесь на испытательном сроке
Во-вторых, если работодатель не любит испытательных сроков, то пусть он их не назначает. (ст. 70 ТК)
В третьих, если вы уже начали работать, а договор еще не подписан, считается, что он заключен автоматически (ст. 67 ТК РФ) . Отказ работодателя от оформления трудового договора является нарушением закона.

Вывод:
Если у Вас будет на руках договор, то это будет аргументом в суде.
При заключении трудового договора на месяц испытательный срок не устанавливается.
Но, по завершении действия договора работодатель может не продлить его.

Ст. 79 ТК РФ Срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия. О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения, за исключением случаев, когда истекает срок действия срочного трудового договора, заключенного на время исполнения обязанностей отсутствующего работника.

ТК запрещает расторжение трудового договора с работником в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске по инициативе администрации (ст. 81 ТК РФ) .

Т. е если Вы за пару дней до конца договора заболеете, то договор будет продлен на неопределенный срок.

Это для общей информации.
А вообще - как-то это подозрительно. Честный работодатель не боится заключать договора и платить зарплату. А подобные предложения подозрительны. Похоже, не все там гладко.
Попробуйте почитать о компании и отзывах на сайтах.

Если хотите считать себя бесправным рабом или крепостным холопом у барина, то - да. Для остальных - ст. 67 ТК РФ. А подобные законы ваш работодатель может установить не далее пределов своей квартиры или дачи, да и то они будут распространяться максимум на его родственников или дружков.

то, что работодатель нарушает закон - это однозначно. Другое дело - решать Вам. Я бы лично отказался.

)))))))))))))))))такой лохотронище.. .
и ведь кто-то покупается.
НЕТ, ЭТО НЕНОРМАЛЬНО.

Факт - это нарушение и возможен вариант обмана. Факт - по такой схеме начинают работать 90% людей))

Ну.. . датой начала работы в компании является не дата заключения трудового договора, и не запись в трудовой книжке, а дата начала выполнения трудовых обязанностей, а также последующая оплата за выполненную работу.

да так многие делают небольшие компании.

НЕ соответствует данная позиция работодателя ТК. Как вариант - договоритесь, чтобы если их устроит как вы работаете, чтобы договор оформили задним числом, т. е. с момента фактического приступления вами к работе. А вообще, договоры на срок (в вашем случае на месяц) могут заключаться только в строго определенных случаях) . Думаю, что ваш работодатель нарушает закон.

Если хотите быть обманутым тогда вперёд!!!!