Работодатель просит написать "по собственному желанию". Могу ли я потребовать расторжения договора по соглашению сторон?

Ничего не пишите. Работодатель не может увольть работника .Только при сокращении или по соглашению сторон. Ну или за дисциплинарные нарушения.

В договоре должен быть прописан пункт про увольнение сотрудника.

Вот вы сами себе противоречите!
Статья 77 ТК РФ устанавливает возможность расторжения договора по договоренности сторон. Если работодатель пойдет навстречу, то покинуть рабочее место можно уже на следующий день.
ТРЕБОВАТЬ соглашения - это даже звучит не правильно, соглашение т. е когда ОБЕ стороны согласились.... а требование согласиться -это простите наезд :)))

не пишите и все

Потребовать нет. Попросить. На то оно и соглашение сторон, чтобы соглашаться или нет.

Потребовать конечно можете... но есть вероятность, что и по статье уволят.

Требовать, конечно, можете.
Попробуйте, так сказать, политический ход ( напрямую ситуация "сложна" к решению) т. е. если же вопрос с вашим увольнением решен и осталось решить только "форму" документального оформления. То, может лучше вам посмотреть на ситуацию в целом/частности и попробовать применить какието методы к сохранению дохода.
Например, это может быть так - пока просят (не увольняют же) и зарплату платят - ищите новое место работы. Может так и получится, что за пару месяцев вы и найдете новую работу :). Может так же получится, что разойдетесь полюбовно - если так можно сказать - так еще и попросите рекомендательное письмо на новую работу :)