Можно ли завести новую трудовую книжку, отложив в сторону старую?

Можно. Но старую не выкидывай. Стаж может пригодиться.

Просто берёшь и покупаешь новую трудовую книжку. Я разок так делал, но тогда это было целесообразно.

Не отчаивайтесь, найдёте ещё работу.
Если вы сделаете новую, то старая может не засчитаться при начислении пенсии

В принципе, сейчас стаж подтверждается отчислениями в Пенсионный, на Ваш личный счет. Можете зайти на сайт ПФР и посмотреть - сколько стажа у Вас.
Так что если работодатель за вас ранее вносил взносы, а книжку потеряли, это не беда - стаж все равно имеется. И наоборот, если у вас трудовая книжка с прекрасными записями, а работодатель отчислений не делал - считай, на пляже были Вы, а не работали.

новая трудовая книжка в определенном возрасте тоже вызывает подозрения у потенциального работодателя

Здравствуйте! Есть один интересный момент. Дело в том, что почти все данные о рабочем стаже есть в архиве ПФР. Попробуйте через Госуслуги заказать такую справку. У меня получилось так, что трудовая книжка канула в Лету. Так восстанавливать и не пришлось. Работодателей с недавних пор обязали подавать все сведения (в том числе за какое то время "задним числом") о стаже сотрудников. Так что всё обо мне знает ПФР. О вас, возможно, тоже.
"Электронная трудовая книжка — это сведения о трудовой деятельности работника, которые хранятся в электронной базе Пенсионного фонда России.
Такие книжки появились в России с 1 января 2020 года и сейчас есть у всех, кто после этой даты трудится официально. По закону работодатель обязан сдавать в ПФР отчеты о главных кадровых изменениях в компании. На их основе и формируются электронные трудовые для работников".

Новую книжку заводят когда в старой статья висит. Есть люди которое статью выводят из трудовой. Есть способ обратится в отдел занятости с заявлением об утере трудовой. Есть способ купить новую книжку.