Это нормально? Законен ли такой подход работодателя?

Нет. ТК обязывает (ст. 70 ТК РФ) заключить договор с указанием срока и условий стажировки. Оплата тоже обязательная, устанавливается работодателем, но не может быть меньше МРОТ.
Исключение касается только случаев когда вы вообще не будете участвовать в рабочем процессе. Т. е. будете приходить просто посидеть и позаниматься своими делами, но при этом можете и не приходить, если вам не хочется. Как только работодатель начинает вас обучать рабочей деятельности или даже допускает что-то делать, а тем более требовать - сразу договор. В целом, если вы просто будете ходить и смотреть кто что делает и что вам потенциально предстоит делать - допустимо. Т. е. в качестве недельной экскурсии, где вы сами по себе - просто гуляете и смотрите из собственного любопытства. Так можно, но и за стажировку вам такую не обязаны платить вообще ничего даже если возьмут.

Остальное - на свой страх, интуицию и обстоятельства. В т. ч. такое предложение - один из тестов на доверие к компании и показатель нежелания компании иметь дело с людьми, которые свои права качают с большим энтузиазмом, чем корпоративные. Если руководство не фанат серпентариев, то такое вполне реально - они ищут людей, которые пришли не просто деньги от них получать, а работать на своём месте. К сожалению, ваш вопрос, в таком случае, пока свидетельствует не в вашу пользу. Человек заинтересованный работой именно там, не задаёт вопрос о правомерности предложения - он ищет варианты как заработать денег на время такой "стажировки". Фактически он готов бесплатно помогать компании даже не работая там - просто потому что хочет. Полагаю, это не ваш случай.

Нах слать

Сразу "до свидания", не оставайтесь

Мошенничество и развод. Чтобы присмотреться, заключают договор на трудоустройство с испытательным сроком.

Ну значит, нужно постаоаться, чтобы трудоустроили. Вроде такая возможность предусмотрена в законодательстве, читал на суперджоб или хедхантер

Да, действительно, в таком случае вам не заплатят. В случае оформления по закону ее обязаны оплачивать. Законно только тогда, когда заключается срочный трудовой договор (ст. 59 ТК РФ).

Незаконен.

Конечно это не нормально

В нормальных организациях устраивают сразу, в первый день работы