заявление об увольнении 15.07. Отработала неделю.С22по31 июля я на больничном. нужно ли отрабатывать последнюю неделю?

нет. не отработка, а ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ за 2 недели (ст. 80 ТК РФ)
так что лучше больничный...

нет не нужно. Так как вы не отрабатываете, а предупреждаете работодателя.
Статья 80 Трудового кодекса
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Нет в Трудовом законодательстве такого понятия отработать. Вы, согласно ст. 80 ТК РФ письменно ПРЕДУПРЕДИЛИ руководство о своём желании уволиться не позднее чем за две недели. Течение срока предупреждения начинается на следующий день после получения работодателем вашего заявления.
То, что вы на больничном ни коем образом не влияет на течение данного срока.
Уволить вас обязаны по истечению этого срока - 29.07., задерживать увольнение до даты закрытия больничного работодатель не имеет право, потому что это увольнение по инициативе работника. Когда закроете больничный придете за документами и расчетом, больничный также будет оплачен полностью.

нет

Отрабатывать ничего не надо. Увольняйтесь последним днем больничного.

Период по временной нетрудоспособности войдет в период предупреждения об увольнении. По оконсчании больничного уволитесь.

Вам нет необходимости как ВЫ выражаетесь "отрабатывать", хотя такого понятие нет, а есть "Предупреждение",