Заявление на увольнение написала 1 июля с 9 июля пошла на больничный, должна ли я потом отрабатывать эту неделю?

То есть Вы хотите сказать, что Вы еще на испытательном сроке?
Тогда Вы уже просрочили свои законные три дня предупреждения об увольнении, и в данной ситуации ни Вы, ни работодатель не настаивали на увольнении и Вы считаетесь что работаете дальше по трудовому договору. Следовательно, чтобы Вам уволиться необходимо заново писать заявление на увольнение.

Нет!
уволят с 15 июля
Больничный оплатят полностью

1. нет
2. днем выхода с больничного
3. если вы не директор, то неправомерно

Если вы всё ещё на испытании и не уволены, то вас пока не уволят, т. к. на во время срока испытания, работник предупреждает об увольнении за ТРИ дня ст. 71 ТК РФ, а они давно прошли и ваше заявление теперь недействительно. Так что нужно писать новое заявление об увольнении.
Срок испытания может быть шесть месяцев для отдельной категории работников ст. 70 ТК РФ. В срок испытания время на больничном не засчитывается.
Нет такого понятия как отрабатывать и отработка, вообще нет.
Увольнение во время больничного доспукается если это увольнение по инициативе работника.
Если ваш срок испытания закончился, то согласно ст. 80ТК РФ работник должен письменно предупредить работодателя о своем желании уволиться не позднее чем за две недели и тогда датой вашего увольнения будет 15-ое июля. Больничный будет оплачен, даже если будет закрыт после даты увольнения.

уволят тебя как выйдешь с больничного в этот же день, отрабатывать ничего не должна.. не переживай