у работника заявление на увольнение написано 03.02.14г. без указания даты увольнения его увольняют

Должны были уволить 17.02.14 согласно ст. 80 ТК РФ. Если бы работник не заболел, то нужно было бы 1) издать приказ об изменении даты увольнения в приказе об увольнении и трудовой книжке (внести изменения) ; 2) сделать перерасчет заработной платы. В данном же случае, когда работник заболел в период предупреждения об увольнении, работодатель должен его уволить также 17.02.14, при этом выплатить пособие по временной нетрудоспособности согласно листу ВН (сумма расчета зарплаты и неиспользованных отпускных при этом останется неизменной - по 15.02.14) и также внести все изменения по дате увольнения (17.02.14).
Если работник не хочет увольняться с работы, то он может решить этот вопрос в досудебном порядке или подав иск в суд (решение должно быть вынесено в пользу работника о восстановлении на работе) .
В досудебном - работодатель при согласии издает приказ о недействительности приказа об увольнении и внесении соответствующих записей в трудовую книжку, личное дело.

Абсолютно безответственное отношение кадровика к своей работе налицо.

То, что человек на больничном, является юридически значимым фактом только при увольнении по инициативе работодателя. Так как в данном случае увольнение происходит по желанию работника, единственный вариант для остановки процедуры увольнения - отозвать заявление до истечения 2-хнедельного срока уведомления об увольнении (фактическое продолжение работы не рассматриваем - человек не на работе) . Посему как закроет больничный, может приходить за документами об увольнении и расчётом.