Можно ли уволить и принять на работу сотрудника в один и тот же день?

Вопрос задан туманно. Что вы имели ввиду?
Если это один и тот же сострудник в одной и той же организации, (пришел и в этот же день уволился - хотя очень загадочная ситуация) , то с соблюдение всех формалностей можно.
В остальных ситуциях НЕ ВСЕ ТАК ПРОСТО.
Судите сами. Ситация 1. День увольнения как и день приема - это рабочие дни. То есть сотрудник в один и тот же день является работником двух организаций. Вопрос, как он между ними метался? Ну если только во второй организации являлся один день совместителем, то есть работал в свободное от первой работы время. Тогда нужно будет принимать его именно по совместительству и на второй день вносить запись, что работа с данного числа стала основной. (Но уж слишком много бумажек оформлять придется) .
Ситуация 2. На одну и ту же штатную единицу в один день (для первого сотрудника последний рабочий, а для второго первый рабочий) претендуют два человека. Как будете производить оплату второму человеку? Из какого фонда? Выход будет только если второго сотрудника принять на вторую (вакантную) должность, при ее наличии. А потом сотрудника №1 уволить, таким образом высвободится его место и снова появится вакансия.
А то что часто пишут в трудовых - это, к сожалению, просто неграмотность кадровиков, которые считают день увольнения - это когда человека уже нет на работе.

нет, у вас получится дважды учтен один и тот же день: день увольнения=день приема. Вы его дважды оплачивать собираетесь?

нет, т. к. день увольнения - рабочий день.

Лучше так не делать, т. к. день увольнения - последний день работы. Получается, что человек в один и тот же день работал в двух организациях.

Законом это не запрещено. А все, что незапрещено - разрешено!

Можно. Никаких косяков здесь нет. Днем увольнения считается последний день работы, а первый день работы вполне может стать и последним, 2 недели выжидать необязательно, по соглашению с администрацией можно уволиться и не отрабатывая эти две недели.

можно принять и уволить=)))

да можно, на нескольких работах было так

В нашей стране всё возможно

Нет. Потому что оповещение об увольнение должно быть предъявлено за 2 недели до даты желаемого увольнения. Иначе это очень легко оспорить в суде.

у меня такая запись в трудовой, в службе занятости сказали, что это косяк, могут быть проблемы с пенсией