Полгода назад взяла в свою фирму на работу сотрудника. Трудовой договор с ним не подписали, можно ли его уволить?

Уволить его сейчас у вас шанс есть. Но.. . Для начала если вы хотите уволить его за прогулы, то процедура там вкратце такова:
1) его непосредственный начальник при наличии неявки на работу должен докладной запиской поставить вас в известность
2) далее руководством издается приказ о получении с него объяснительной по поводу отсуствия на рабочем месте. Приказ обязательно под расписку. Если от ознакомления отказ - то акт и три члена комиссии
3) ему дается 2 дня сроку. Потом опять спрашивать объяснение в письменном виде
4) если объяснений нет - опять акт и подписи 3 членов комиссии (назначенных тоже приказом)
далее если нет уважительной причины - приказ на увольнение по статье

увольняйте за прогулы, да и все. Раз вы не оформили с ним договр - это ваша оплошность. Но он у вас в штате, рядовой сотрудник. Ничто не мешает уволить его за грубое нарушение трудовой дисциплины

Уволить можно в соответствии с законодательством. Если есть приказ и запись в трудовой, то он имеет все права. Подписан договор или нет трудовое законодательство это не отменяет.

табеле указывайте отсутствие по неизвестной причине, письменно запросите причину отсутствия и объяснение, если причина неуважительная - увольняйте за прогулы..

напишите пару актов, докладных и увольте по не соответствию... или по соглашению сторон

уволить можно всегда, главное причину найти и всё сделать грамотно

как вы могли так грубо нарушить ТК? возможно договор о материальной ответственности работника хотя бы есть.... всегда сможешь доказать что он виноват... немного фальсификации и умного юриста.... и внимательно почитайте ТК там достаточно оснований для увольнения по инициативе работодателя.... хотя за систематические прогулы уже можно увольнять...

если он у вас формально негде не числится, соответственно пенсионые начиления не перечисляли, ндфл не платили какие проблемы? нет его.