Кто первый при приеме на работу подписывает трудовой договор: сотрудник или директор?

Данный договор приобретает юридическую силу после подписания его обеими сторонами. А порядка регулирующего очередность подписания не предусмотрено.
Так же, отдельным требованием к трудовому договору соотв. ст. 67 ТК РФ Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя. - это положение не редко упускается из вида работодателем.

Трудовым кодексом не регламентируется порядок подписания трудового договора. Согласно ст. 67 ТК РФ трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Это как дуэль? Кто первым нажмёт на курок? Любой договор подписывайте одномоментно и в присутствии стороны, обязательно подписывайте каждую страницу.

Без разницы кто первый, вопрос из разряда - кто первый появился - курица или яйцо.

Умный кадровик, на первом экземпляре Трудового договора пишет "Второй экземпляр Трудового договора получил (подпись работника) ", при этом дата указывается внизу, и оба эк5земпляра забирает доля подписания директором, и "вечно" его подписывает.
Потом никакому суду не докажешь, что ты не получал экземпляр Трудового договора, а умный кадровик, естественно "забывает" его выдать.

Я всегда подписываю как сотрудник первой...