могу ли я потребовать от работодателя выплатить зарплату за пол года

Советую не лгать в суде))

требовать вы вправе, но право необходимо доказывать. .
если в трудовой имеется запись об увольнении, то да. .
факт трудовых отношений доказывается трудовым договором, записью в трудовой книжке, выплатой заработной платы и отчислений. .
если всего этого не имеется, то вам сложно будет доказать названный факт без участия трудового юриста. .
инспекция по труду вам скорее всего откажет, так как вы избрали способ защиты права в виде обращения в суд. .

Спросите у своего адвоката. Как можно ответить не видя документов?

Допустим, не было трудового договора. Работодатель отрицает журнал. Но на последнем заседании он его предъявит. Что Вы тогда будете мычать?
Говорите-ка лучше правду, а то суд перейдёт с Вашей стороны на его.
Теперь про трудовую.
Так а в выданной трудовой-то что написано? Пусть она выдана не под роспись. Но запись там есть или нет? Если есть - значит, Вы там работали, вот Вам и доказательство. Если нет и суд установит, что Вы там всё-таки работали - пусть инспекция труда или прокуратура привлекают работодателя в том числе за это (наряду с неоформлением трудового договора, неведением расчётных ведомостей, невыдачей расчётных листков и т. п. ) к административной ответственности по ст. 5.27 КоАП РФ.
А приказы - это вообще фигня. Я работодателя понимаю: если не было договора, то и приказа не было! По кому издавать приказ? По тому, кто не числится по штату?. .
Нарушение в действиях работодателя были уже тогда, когда он не оформил трудовой договор. А что он там оформил или не оформил потом - неважно.