Посоветуйте куда можно обратиться с этой жалобой?

УБЭП, Прокуратура

Вы, как видимо, представитель больницы. Тогда ответьте на вопрос - является ли работа в больнице для указанной вами работницы основной (по трудовой книжке) . Если ДА, то её работа где-то и кем-то еще вас вообще не должна волновать, это законное право работника (статьи 60.1 и 282 ТК РФ) . А за неисполнение или ненадлежащее исполнение трудовых обязанностей работником к вашим услугам статьи 192 и 193 ТК РФ - можете применить дисциплинарное взыскание. Если же в больнице она - совместитель, то правила игры те же, но дополнительно можете расстаться с ней по ст. 288 ТК РФ, если примете на её должность (повара) основного работника (по ТК) . А про жалобы даже и не думайте - никакого нарушения законодательства здесь нет.

Самое простое с ней расстаться: ТК РФ Статья 288. Дополнительные основания прекращения трудового договора с лицами, работающими по совместительству
Помимо оснований, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами, трудовой договор, заключенный на неопределенный срок с лицом, работающим по совместительству, может быть прекращен в случае приема на работу работника, для которого эта работа будет являться основной, о чем работодатель в письменной форме предупреждает указанное лицо не менее чем за две недели до прекращения трудового договора.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Совмещение должностей у нас разрешено согласно ст. 282 ТК РФ.
Должность Повара не является должностью гражданской государственной службы, поэтому являться по совместительству директором она имеет полное право. Жаловаться руководству больницы на ненадлежащее исполнение сотрудником своих обязанностей, а уж с причинами пусть руководство и разбирается.
В БЭПе и прокуратуре вас на смех подымут.