На работе предложили написать заявление на неоплачиваемый отпуск,

А чем может грозить отпус без сохранения заработной платы.... Да выплаты в ПФ пекратятся, а еще это отразиться на периоде работы за который положен оплачиваемый отпуск, так как он сдвинется ровно на количество календарных дней отпуска без содержния. А уволить вас невозможно без причин, и отпуск без содержания - это не причина для увольнения. И увольнение без гарантированных выплат тоже не возможно, работодателю дороже выйдет такое увольнение. Вы вправе по всем вопросам обратиться в трудовую инспекцию, а работодатели, как правило, это не любят.
При увольнении вам должны произвести окончательый расчет и выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск, вот именно на такую компенсацию может повлиять ваш отпуск без содержания лишь в той мере, что он уменьшит период вашей работы на количество дней отпуска без содержания - как было уже сказно чуть выше.
А вот идти в такой отпуск или нет, вам самой решать, вас нельзя заставить.. . хотя если руководитель захочет, он все равно подведет к увольнению работника.

Запросто

Ну если безгранично верите руководству то пишите и получайте в конвертах но если есть сомнения то сами поимаете может получится как в анекдоте: "Милый но ты же на мне общеал жиниться.. . Ну мало ли что я на тебе обещал"

А уволить сотрудника за отказ уйти в отпуск - по факту возможно но это будет стопудово незаконно

как вариант действительно отпуск может быть бессрочным а слова шефа про налоги не являются документом Вообще заставить такое сделать не имеют права исключительно на свой страх и риск