Я устроилась на работу в отдел кадров и обнаружила, что люди работающие здесь не имеют трудовых договоров. Что делать?

Ситуация не простая, С одной стороны необходимо не показаться выскочкой, с другой стороны - при любой проверке всех собак повесят на вас. Постарайтесь потихоньку поинтересоваться - у них такие правила или ваш предшественник был полным профаном (у него и спросите Т-2 то осталась) . Если это второй случай - срочно заключайте "задним" числом. Если это правило такое - ищите другую работу. Отвественность за нарушение трудового заонодательства на "го-на" рук- ля - от 3 до 5 тыс, на организацию от 30 до 50. Но это не главное - испорченная репутация оно вам нужно?

.. требуй заключения трудового договора
либо, если по трудовой книжке, работай как есть

Такое встречается сплошь и рядом.... Сама уже пол года работа без договора и трудовой, т. е. если так - официально "без работная")...Конечно для успокоения собственной души, нужно требовать официального оформления....

трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
ТРУДОВОЙ ДОГОВОР, НЕ ОФОРМЛЕННЫЙ В ПИСЬМЕННОЙ ФОРМЕ, СЧИТАЕТСЯ ЗАКЛЮЧЕННЫМ, ЕСЛИ ПРИСТУПИЛ К РАБОТЕ С ВЕДОМА И ПО ПОРУЧЕНИЮ РАБОТОДАТЕЛЯ ИЛИ ЕГО ПРЕДСТАВИТЕЛЯ. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

Трудовой договор заключенный в устной форме, по моему тоже ДОГОВОР. Просто работодатель сам себя поставит "раком" если возникнут трения т. к. если нет письменного договора то и уволить работника "за не исполнение своих должносных обязанностей" он может но суд признает его действия не законными. Доложи начальнику, у него ЗП больше значит пусть у него голова и болит.

Если работа с трудовыми договорами не входит в круг ваших должностных обязанностей, то для Вас важнее получить заверенную копию о приеме Вас на работу, где указан размер вашего должнстного оклада. Все остальное, прописанное в договорах, как правило, стандартно и регулируется нормами ТК. А начинать свою трудовую деятельность с петиций я бы Вам не советовала. Знаете ли, в чужой монастырь со своим уставом не ходят. Даже если это противоречит существующему закнодательству.

Вам необходимо обратиться с письменным заключением к работодателям - руководству организации и описать в данном документе картину: что необходимо заключать письменные трудовые договоры с работниками, делать записи в трудовые книжки (это по трудовому договору!) , создавать штатное расписание в организации и распишите все обязательно подробно! далее в документе необходимо указать, что в случае не выполнения данных рекомендаций, Вы с себя ответственность снимаете. Потомучто данные факты могут быть так называемой "подставой" для Вас.
Удачи!!!