Может ли иностранная фирма сделать запись в трудовой книжке, если ты у них работаешь по контракту в течение года?

Подумайте, какое правовое значение имеет запись в трудовой книжке. Для пенсии - важен только факт и размер уплаты страховых взносов. Для следующей карьеры - "дырку" в трудовой книжке Вы закрываете контрактом, и если следующая кадровичка - не дебилка, проблем нет. Контракт, а также документы к нему (приказы, распоряжения, акты выполненных работ, ведомости выплат - то есть все, что подтверждает, что контракт фактически исполнялся, и, самое важное - есть документ, подтверждающий окончание работы по контракту, уведомление об увольнении, например) , храните вечно, пригодится на пенсии. Медицинская страховка - во всем мире носит договорной характер - есть договор - есть страховка. Для чего еще Вам запись в трудовой?

Если это не в России, то и смысла нет, к трудовому стажу для пенсии-не защитается....

Трудовые книжки - это наше ноу-хау! Для иностранной фирмы - это просто экзотика. И их ведение обязательно лишь по российскому законодательству. Если вы уговорите своих иностранных нанимателей сделать вам эту запись, то не забывайте, что согласно Постановлению № 225 от 16.04.2003г. трудовые книжки ведутся на государственном языке Российской Федерации.
Запись эта собственно говоря не имеет смысла, поскольку этот период ни в какой стаж вам включаться не будет, ни в общий, ни в страховой.

Трудовой кодекс РФ:
Статья 11. Действие трудового законодательства и иных актов, содержащих нормы трудового права
На территории Российской Федерации правила, установленные трудовым законодательством и иными актами, содержащими нормы трудового права, распространяются на трудовые отношения с участием иностранных граждан, лиц без гражданства, организаций, созданных или учрежденных иностранными гражданами, лицами без гражданства либо с их участием, международных организаций и иностранных юридических лиц,!!! если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации.

В том числе на ин. юр. лица распространяется и:
ПОСТАНОВЛЕНИЕ Правительства РФ от 16.04.2003 N 225
(ред. от 19.05.2008)
"О ТРУДОВЫХ КНИЖКАХ"
(вместе с "ПРАВИЛАМИ ВЕДЕНИЯ И ХРАНЕНИЯ ТРУДОВЫХ КНИЖЕК, ИЗГОТОВЛЕНИЯ БЛАНКОВ ТРУДОВОЙ КНИЖКИ И ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИМИ РАБОТОДАТЕЛЕЙ")
Т. о. ин. фирма обязана сделать запись в трудовой книжке.
ОДНАКО ВОЗНИКАЮТ ОПРЕДЕЛЁНННЫЕ СОМНЕНИЯ В ТОМ, ТРУДОВОЙ ЭТО ДОГОВОР ИЛИ ГРАЖДАНСКИЙ (ПРОЗВУЧАЛА СЛОВО "КОНТРАКТ", ОБЫЧНО ЗАКЮЧАЕТСЯ ТРУДОВОЙ ДОГОВОР"), ЕСЛИ ЭТО ДОГОВОР ГПХ, ТО ПРАВА ТАКОГО У ИН, ФИРМЫ НЕТ!

просто обязана.