Если в заявлении работника на увольнение указана причина "смена места жительства",то...

Потребовать? Никакие. Любой человек имеет право увольняться в любой момент. Если он хочет уволиться без отработки 2-недельного срока, тоже имеет право, и работодатель не вправе посадить его в клетку на 2 недели. Если есть рычаги воздействия типа "тогда не выдадим премию", можно пытаться воздействовать ими. Если работнику на это пофиг и приспичило уволиться сегодня, сейчас - никто не может ЗАСТАВИТЬ его отработать 2 недели, даже если он не предоставит документы. Вот выдать зарплату за ту часть месяца, что работник отработал, работодателю всё равно придётся. Хотя он, конечно, может сделать работнику гадость - уволить по статье, за прогулы, например, в течение этих двух недель. В любом случае, не всё решается буквой закона, человеческие отношения намного важнее. Тем более что "смена места жительства" не всегда подразумевает смену регистрации, а уезжают не всегда на поезде, так что подобных документов может просто не быть. Может, он на 3 месяца уезжает к родственникам выгуливать их собаку, пока они в Англию учить язык уехали.

Трудовой кодекс
Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора, работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Причину в заявлении совершенно не обязательно указывать.

А зачем в таком заявлении указывать причину?
Это раз
работодатель ничего не вправе требовать это два

Здесь ведь не причина важна, а сама суть - работник увольняется по собственному желанию. Коль скоро это СОБСТВЕННОЕ желание, какие могут быть подтверждения. Если только речь идёт о желании избежать двухнедельной отработки, то достаточно выписаться с постоянного места жительства и показать паспорт с отметкой или представить свидетельство о временной регистрации по новому месту жительства.

Никаких! только если по причине смены места жительства ты претендуешь на работу в той же фирме только в другом городе - тогда может потребовать...

по-моему выписку с места жительства и копию билета, но могу ошибаться