Начальник отказывается одписывать заявление на отпуск, как быть?

Отдайте заявление в приемной и поставте входящий номер. Если не ставят отправляйте через почту с уведомлением.
Но, если у Вас отпуск не по графику, могут и не представить.
Можно написать заявление : "Прошу уволить по собственному желанию, с предоставлением очередного отпуска с ...".

Начальник имеет право вам отказать в отпуске перед увольнением, если отпуск не по графику отпусков. При увольнении получите компенсацию за отпуск.

идёте на почту, кладёте своё заявление в конверт и отправляете на имя начальника заказным письмом с уведомлением.

Как вариант - идёте в Государственную Инспекцию Труда на приём к инспектору. С собой иметь номер телефона директора. Один звонок решит все ваши проблемы.

у сторон трудового договора имеются взаимные права и обязанности:
в силу положений статей 22, 189, 80 ТК РФ: работодатель имеет право требовать от работника исполнения им трудовых обязанностей; дисциплина труда - обязательное для всех работников подчинение правилам поведения; работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее, чем за две недели. .
при увольнении вам выплатят компенсацию за неиспользованный отпуск..

Пишите заявление на отпуск с последующим увольнением. В таком случае отказать вам в предоставлении отпуска не могут, за одно и не нужно уведомлять об увольнении. Дата увольнения наступает на следующий день после окончания отпуска.
Чтобы работодатель не смог "потерять" ваше заявление нужно: 1. зарегистрировать его в приемной.
2. отправить почтой с описью вложения и уведомлением.

Но он же как-то мативирует свой отказ? Если да, значит можно найти аргументы, которые дадут понять вашему начальнику, что если вы пойдете в отпуск сейчас, то это с меньшими потерями скажется на работе. Что в другие периоды ваш отпуск повредит успеваемости, поставит под угрозу срыва отчеты, проэкты, договора (в зависимости от того, чем вы занимаетесь) . Все это поможет вам если вы хотите в отпуск что по графику, что вне графика. Можете добавить еще личную мотивацию (путевка, здоровье, срочные личные дела) . Но начинать следует с работы и личной выгоды начальника от вашего отпуска в данный период.
П. С. начальник знает о вашем намерении уволиться? Если да, то понятен его мотив, если нет, то вы можете спокойно отработать две недели с момента объявления о уходе, а неиспользованный отпуск вам оплатят при окончательном расчете. Хотя есть такая фишка, что если увольняешься сразу после отпуска не надо будет отрабатывать 2 недели (уточнить в кол. договоре и законе о труде)

Одписывайте на него заявление в суд, если у вас по графику.