вопрос к юристам или к кадровикам

В период временной нетрудоспособности отпуск работнику работодатель не вправе представить. Если работник представил бы листок временной нетрудоспособности, выданный во время ежегодного оплачиваемого отпуска, то работодатель обязан бы был продлить отпуск (ч. 1 ст. 124 ТК РФ) на количество дней, совпавших с периодом временной нетрудоспособности, но это не Ваш случай.

можете, ваш отпуск продлится на количество больничных дней

Написать вы можете с сегодняшнего числа, но дату начала отпуска нужно поставить ту, когда вы уже выйдете с больничного.

можете, многие так делают
Статья 121. Исчисление стажа работы, дающего право на ежегодные оплачиваемые отпуска
время, когда работник фактически не работал, но за ним в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохранялось место работы (должность) , в том числе время ежегодного оплачиваемого отпуска, нерабочие праздничные дни, выходные дни и другие предоставляемые работнику дни отдыха;
Статья 122. Порядок предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков
Отпуск за второй и последующие годы работы может предоставляться в любое время рабочего года в соответствии с очередностью предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков, установленной у данного работодателя.
Очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков,
Статья 124. Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска
Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях: временной нетрудоспособности работника;

Да, но на дату закрытия больничного листа, т. е. на первый рабочий день выхода на работу после закрытия б/листа. Если человек написал заявление на отпуск и до отпуска ушел на больничный, то отпуск переносится на дату выхода с б/листа, а не продляется. ст. 124 ТК РФ

Можете взять отпуск с сегодняшнего дня, а так как Вы находитесь на больничном, то отпуск продляется еще и на Ваш больничный