Может ли попасть под сокращение штата сотрудник, являющийся единственным кормильцем?

Вообще-то не может, на сколько мне известно, по крайней мере в законе такого не помню.

Может. Вот если бы на иждивении находилось от 3 детей, или инвалид, тогда были бы льготы при сокращении штата.

При сокращении преимущественным правом на оставление на работе среди прочих категорий работников пользуются лица, в семье которых нет других лиц с самостоятельным заработком. Постомтрите статью 149 ТК РФ.

Т. к. о сокращении должны предупреждать за два месяца под личную роспись, то надо будет обратиться в трудовую инспекцию. Можно поброться. Опирайтесь на ст. 179 ТК РФ Преимущественное право на оставление на работе при сокращении....

не допускается увольнение работника (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем) в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске (часть шестая статьи 81 ТК РФ) ; беременных женщин (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем) , а также женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет, одиноких матерей, воспитывающих ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида - до восемнадцати лет) , других лиц, воспитывающих указанных детей без матери, за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5-8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 ТК РФ (статья 261 ТК РФ) . Так что вашего случая законодатели еще не придумали, к сожалению