имеют ли право сократить мать одиночку с несовершеннолетним сыном

Статья 268. Гарантии при заключении и прекращении трудового договора для беременных женщин и женщин, имеющих детей
Запрещается отказывать женщинам в заключении трудового договора и снижать им заработную плату по мотивам, связанным с беременностью или наличием детей в возрасте до трех лет, а одиноким матерям – с наличием ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида – до восемнадцати лет) .
При отказе в заключении трудового договора указанным категориям женщин наниматель обязан сообщить им мотивы в письменной форме. Отказ в заключении трудового договора может быть обжалован в суд.
Расторжение трудового договора по инициативе нанимателя с беременными женщинами, женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, имеющими детей в возрасте от трех до четырнадцати лет (детей-инвалидов – до восемнадцати лет) , не допускается, кроме случаев ликвидации организации, прекращения деятельности индивидуального предпринимателя, а также по основаниям, предусмотренным пунктами 4, 5, 7, 8 и 9 статьи 42 и пунктами 1–3 статьи 47 настоящего Кодекса.
Обратите внимание, что в данной статье не фигурирует полная формулировка п. 1 ст. 42 "ликвидации организации, прекращения деятельности индивидуального предпринимателя, сокращения численности или штата работников"

Только если сын старше 14 лет

Статья 261 ТК РФ содержит прямой запрет на увольнение одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до 14 лет (ребенка-инвалида — до 18 лет) в связи с сокращением численности или штата. Трудовой договор с таким работником может быть расторгнут только в случаях:
ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем (п. 1 ч. 1 ст. 81 ТК РФ) и за виновные действия.

естественно, если есть объективные причины

Нет, только в случае ликвидации организации, в которой она работает.

Открываем статью 261 ТК РФ и читаем.. .
Расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида до восемнадцати лет) , другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя НЕ допускается (ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса) .
Т. е. если женщина имеет статус одинокая мать и ребенка до 14 лет (ребенка-инвалида до 18 лет) , то сократить её не могут.

нет. только в случае ликвидации предприятия

опыт подсказывает что ДА