Имеют ли право сократить с работы, мать, которая воспитывает ребёнка до 14 лет одна (отец умер)?

Нет, не имеют.
"Расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида до восемнадцати лет) , другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя НЕ ДОПУСКАЕТСЯ (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса). " (Статья 261 ТК РФ)
Сокращение в указанные основания не входит.

Она имеет право на преимущественное оставление на работе.

Вывод из всех ответов: сократить могут, если у другого претендента на данную должность более высокая квалификация.

У нас сотрудницу по этой причине не сократили, она обращалась к адвокатам

Наличие несовершщеннолетних иждивенцев является основанием для преимущественного оставления на работе, однако надо учитывать что в первую очередь оценивается квалификация работника, а вот если сокращению подлежат несколько работников с одинаковой квалификацией, то тогда принимаются во внимание другие основания (в том числе наличие иждивенцев) . Проще говоря, например: сокращают должность бухгалтера, на предприятии работают два бухгалтера, один с высшим образованием, другой со средним техническим, второй имеет несовершеннолетнего иждивенца, сокращению подлежит второй работник как имеющий более низкую квалификацию, если же квалификация работников будет одинаковой, то тогда сократят того у кого нет дополнительных преимущественных прав (первого).