Можно ли заключать договор стажировки с одним лицом несколько раз подряд, без оформления трудового договора?

если есть письменный договор, не важно, как он называется, и там написаны слова: работа, работник, работодатель.. .
то это и есть трудовой договор (ст. 56-57 ТК РФ) .
если с вами заключают договор на короткий срок, то это незаконно (ст. 59 ТК РФ) , потому что срочный договор можно заключать с работником только в некоторых определённых случаях (ст. 59 ТК РФ)

пишите жалобу (заказное письмо) в гос. инспекцию труда. там же можете указать: прошу не сообщить работодателю моё имя...

Это нарушение закона.

в силу положений статьи 67 тк рф: трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя; при допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней..

В соответствии со ст. 58 ТК РФ - "Запрещается заключение срочных трудовых договоров в целях уклонения от предоставления прав и гарантий, предусмотренных для работников, с которыми заключается трудовой договор на неопределенный срок". В Вашем случае, похоже что работодатель этим и занимается)) ) Но, заключить договор срочный кончено можно еще раз, если вы не против и вам так выгодно, хотя тем самым вы лишаетесь прав и гарантий связанных с работой. А если вы против такой ситуации обращайтесь в Трудовую инспекцию, или говорите об этом руководителю, может быть он сам поменяет свое мнение, ведь мало кто хочет связываться с Трудовой инспекцией!