Могу ли я взять отпуск за свой счет отработав всего 2 месяца?

если работодатель согласен вам этот отпуск предоставить, то сможете.

если работодатель согласен-пожалуйста, только зачем такой работник-не успел прийти на работу уже -устал.

с согласия работодателя - хоть на следующий день!

Статья 128ТК РФ:
По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Ключевое слово в законе МОЖЕТ, это не обязанность работадателя, поэтому мой совет пишите официальное завление, регистрируйте его, а Ваш руководитель, если напишет на нем ОТКАЗАТЬ имеет на это право.
Сожалею :(

Конечно

Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.
Соответственно, в вашем случае - работодатель не обязан давать вам отпуск за свой счет.