Могу ли я взять отпуск и сразу написать заявление об увольнении?

Конечно, можете. Если работодатель Вас в отпуск сейчас отпустит.
Трудовой кодекс обязывает работника предупредить работодателя о желании уволиться за две недели. Именно предупредить, а не отработать.
Поэтому работник может этот период (14 календарных дней) провести на работе, на больничном или в отпуске. То есть ничего не мешает Вам уйти в отпуск, и, например, в первый же день отпуска написать заявление об увольнении по собственному желанию. Отчет двухнедельного срока начнется на следующий день после подачи заявления. При таком раскладе Вам придется выйти на работу ровно на один день - как раз получить расчетные и трудовую книжку.
Можно, конечно, написать заявление на отпуск с последующим увольнением. Но работодатель не обязан в этом случае предоставлять Вам отпуск (если только он не по графику отпусков; но, как я понимаю, график отпусков у вас видимо отсутствует) - вполне может и не предоставить, тогда две недели придется работать, а за неотгуляный отпуск выплатят компенсацию.

И еще: Для Вас годы работы отсчитываются с 18 апреля. То есть: первый год работы был с 18 апреля 2011 года по 17 апреля 2012 года - Вы за него отгуляли полный отпуск в 28 дней.
Второй год работы начался с 18 апреля 2012 года - чтобы Вам потом не возвращать отпускные (ничего не удержали при расчете) , 14 дней отпуска Вам нужно взять с 18 октября - именно с этой даты истекут полные шесть месяцев второго рабочего года и Вы "заработаете" себе 14 дней отпуска (каждый месяц работы дает 2,33 дня отпуска) .

отпуск предоставляется за рабочий год, а не за календарный.
за период с 18.04.2011 по 17.04.2012 г. вы отпуск использовали.
за период с 18.04.2012 по сегодняшний день (14.09.2012) вы имеете право на 12 к. д. отпуска. (5 мес. х 2,33 к. д)
отпуск работодатель обязан предоставлять согласно утвержденого графика, а не по вашему желанию. если вам сейчас по графику отпуск не положен, то работодатель имеет право отказать. если графика нет, то как договоритесь (всё равно ТК РФ нарушается) . написать заявление об увольнении можно и находясь в отпуске. ТК РФ не обязывает отрабатывать, ваш обязанность - предупредить о своем желании уволиться, а это можно сделать и во время отпуска.

право на отпуск 28 к. д. у Вас образовалось через 11 месяцев после поступления на работу. Время нахождения в отпуске включается в сл. период.
Принимая во внимание, что 1 отработанный месяц дает право на 2,33 дня отпуска, имеем на 11 сент. 17*2,33 =39.6 т. е. практически 40 к. дней.
Минус 28 уже использованных. Итого -12 честно заработанных дней отпуска.
О своем увольнении работник обязан предупредить администрацию не менее чем за две недели до желаемого срока увольнения. Т. е. Вам "отрабатывать" 2 дня+12 в отпуске и все соблюдено.

ага.... это называется - отпуск с последующим увольнением....

да

конечно можете. отпуск с последующим увольнением.