Подскажите знающие люди, могу ли я уйти в отпуск и одновременно написать заявление на увольнение??

Отработки по ТК - нет. Есть обязанность уведомить работодателя о своем желании расторгнуть трудовой договор ( ст. 80 ТК РФ) . А вот насчет отпуска - большой вопрос, т. к. если отпуск вне графика, то работодатель может Вам его и не предоставить.

нет ни какой "отработки по ТК", вы обязаны просто своевременно уведомить работодателя о своем желании уволится, сделать это можно и в период нахождения в отпуске.

Можно.. . сперва на отпуск.. . а потом как подпишут тогда и об увольнении

Статья 127 Трудового кодекса Российской ФедерацииПо письменному заявлению
работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим
увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия) . При этом
днем увольнения считается последний день отпуска. При увольнении в связи с истечением срока трудового договора отпуск с последующим увольнением может предоставляться и тогда, когда время отпуска полностью или частично выходит за пределы срока этого договора. В этом случае днем увольнения также считается последний день отпуска.
При предоставлении отпуска с последующим
увольнением при расторжении трудового договора по инициативе работника этот
работник имеет право отозвать свое заявление об увольнении до дня начала
отпуска, если на его место не приглашен в порядке перевода другой работник.

Можно так: "Прошу предоставить мне отпуск на ...календарных дней с последующим увольнением. " У меня прокатило, во всяком случае...