существует ли материальная ответсвенность работника без трудого договора?

Только через суд.
Если у Вас нет трудового договора, следовательно у Вас существует гражданско - правовой договор оказания услуг (может быть).

в силу положений статьи 67, 238, 239 тк рф: трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя; работник обязан возместить работодателю причиненный ему прямой действительный ущерб, за исключением случаев если ущерб возник вследствие непреодолимой силы, нормального хозяйственного риска, крайней необходимости или необходимой обороны либо неисполнения работодателем обязанности по обеспечению надлежащих условий для хранения имущества, вверенного работнику..

1."если работника не оформляют пол года на фирме" - значит он нигде не числится, работодатель не делает отчисления в фонды, и не идет трудовой стах, так как не записи в трудовой книжке;
2." и не заключают с ним трудового контракта" - Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе. (ст. 67 ТК РФ)
3. .".сушествует ли материальная ответственность любого вида дейтельности на фирме наемного работника? " -есть список должностей, с которыми вообще может заключаться договор о матер. ответственности, и если вашей должности в нем нет, то даже если вы что-то там и подписали - в суде легко доказать недействительность этого договора о мат. ответственности.

Полностью согласен с Татьяной Олейниковой.
Только добавлю, что согласно главы 37 ТК РФ и первой её статьи - 232 - термин "материальная ответственность" употребляется вместе со словами "трудового договора", т. е. они неразрывны. Нет трудовых отношений - нет и материальной ответственности.
То, что мы обычно называем "материальной ответственностью" и "договором о материальной ответственности" - это та же ответственность, просто конкретизированная по некоторым профессиям, выполнение которых связано с возможностью злоупотреблений положением в целях хищения (продавцы, зав. складом и т. п.) , т. е. это исключение, а вернее, уточнение из общего правила об ответственности.
Ответ по сути вопроса: работник при описанных Вами условиях всё-таки выполняет трудовую функцию и на него распространяется действие трудового законодательства. Однако поскольку трудовой договор не заключён (нет письменных обязательств работника о материальной ответственности) и не заключён договор о МО - работник несёт МО на ОБЩИХ основаниях (т. е. только за прямо причинённый вред, а не за сохранность вверенного имущества, не за нерациональное использование и т. п.).