.Сергеева, воспитывающая шестилетнего ребенка без мужа, систематически опаздывала на работу, допускала прогулы и появлен

Если Вы правильно указали пункт статьи и статью, то действия работодателя не правомерны.

ТРУДОВОЙ КОДЕКС РФ
Статья 261. Гарантии беременным женщинам, женщинам, имеющим детей, и лицам, воспитывающим детей без матери, при расторжении трудового договора
Расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида до восемнадцати лет) , другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса) .

ВОПРОС ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ДРУГОМ.
Если имеются неоднократные факты (вывод из вопроса) несоблюдения трудовой дисциплины работников, то работодатель имеет все основания (пункт 5 "неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание", 6 "а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены) , независимо от его (ее) родолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены) ; б) появления работника на работе (на своем рабочем месте либо на территории организации - работодателя или объекта, где по поручению работодателя работник должен выполнять трудовую функцию) в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения", ст 81 ТК РФ) уволить работника по статье и еще усугубить его положения (с такой записью трудно будет устроиться) . Поэтому стоит все взвесить и принять решение либо оставить все как есть либо обжаловать приказ, на это есть все шансы (100 % работодатель неправ).

Сергеева, конечно, может обжаловать своё увольнение и в трудинспекции, и в суде, её восстановят (предположим!) , но работать уже на том же месте она не сможет.
Так что лучше пусть встаёт на учёт в ЦЗН и ищет другую работу.

если сказали не обращаться то как раз нада обратиться.... то что была пьяная это доказываеться тока мед освидетельствованием

Всё незаконно: основание увольнения, которые не имеют отношения к дисциплинарным наказаниям (если они были).

если присутствуют в действительности все акты, где завиксировано ее опаздание, докладные записки, служебные записки, имеются свидетели.... факт нахождения на раочем месте в нетрезвом состоянии-обязательно должно быть мед. заключение.... Ну а самой ей не стыдно с таким хвостом идти куда качать права.

Будем считать, что ей предлагали свободные вакансии, было предупреждение за 2 месяца и т. п.
Следует также заметить, что нетрезвое состояние и состояние опьянения-понятия разные.
И самое главное:

Статья 261. Гарантии беременным женщинам, женщинам, имеющим детей, и лицам, воспитывающим детей без матери, при расторжении трудового договора

Расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет!!!! (ребенка-инвалида до восемнадцати лет) , другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса) .
Сокращение же это п1 ч1 статьи 81 ТК РФ