Скажите пожалуйста, может ли мать ребенка-инвалида по истечения отпуска по уходу за ребенком до 3 лет

Что касается увеличения срока отпуска по уходу за ребенком-инвалидом, то, к сожалению он также составляет до 3-х лет. Однако, здесь можно посоветовать обратиться к ст. 183 ТК РФ - гарантии работнику при временной нетрудоспособности:
при временной нетрудоспособности работодатель выплачивает работнику пособие по временной нетрудоспособности в соответствии с федеральным законом.
Размеры пособий по временной нетрудоспособности и условия их выплаты устанавливаются федеральным законом.

На основании ст. 423 ТК обеспечение данным видом пособий осуществляется на основании Постановления Совета Министров СССР и ВЦСПС от 23 февраля 1984 года N 191 "О пособиях по государственному социальному страхованию" и Положения о порядке обеспечения пособиями по государственному социальному страхованию, утв. Постановлением Президиума ВЦСПС 12 ноября 1984 г. N 13-6. Эти акты действуют в части, не противоречащей

Нет, не может. Придется увольняться в связи с уходом за ребенком-инвалидом

К сожалению, нет такого закона.
Единственно, чем вы можете воспользоваться, это в соответствии со ст. 263 ТК РФ, если коллективным договором установлены случаи предоставления отпуска без сохранения заработной платы, при этом на работодателя налагается обязанность по его предоставлению, например:
работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до четырнадцати лет, — до 14 календарных дней;
работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет, — до 14 календарных дней.
Указанный отпуск может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску по письменному заявленю работника.

К сожалению, нет. Рабочее место за женщиной сохраняется только до тех пор, пока ребёнку не исполнится 3 года.
Но родитель ребёнка-инвалида имеет право на 4 дополнительных выходных (оплачиваемых) в месяц.