Я председатель ТСЖ .Могут ли члены тсж (жители дома) подавать в суд на председателя за неправильно выполненную работу

Правовое положение ТСЖ и его председателя весьма весьма шаткое.
Только лень мешает людям завалить их судебными исками.

Что значит" неправильно выполненную работу? " Должны были нанять одного дворника, наняли двух, но за те же деньги?

могут. вообще любой может подать в суд на кого угодно.

Характер взаимоотношений между органами управления ТСЖ и товариществом определяется уставом ТСЖ. В уставе может быть предусмотрено заключение как трудовых, так и гражданско-правовых договоров с председателем ТСЖ.
Если заключен именно трудовой договор, то согласно ст. 274 ТК РФ права и обязанности руководителя в области трудовых отношений определяются трудовым договором. Особенности труда руководителя могут быть отражены в возложении на него полной материальной ответственности за прямой действительный ущерб, причиненный ТСЖ, и в установлении дополнительных оснований расторжения договора с ним (соответственно ст. 277 и 278 ТК РФ) .
В статье 149 ЖК РФ перечислены полномочия председателя правления и ничего не сказано об ответственности его и правления за убытки, причиненные товариществу как неэффективным управлением, так и нанесением вреда имуществу в многоквартирном доме. Между тем отсутствие в Жилищном кодексе положений об ответственности исполнительных органов не исключает этой ответственности. В случае, если деятельность председателя ТСЖ регулируется гражданско-правовым договором с ТСЖ, то в уставе товарищества могут быть определены условия наступления ответственности, ее размер, а также порядок взыскания убытков, причиненных товариществу деятельностью исполнительного органа.

Могут, это их право + доказательства.... Только это волокита, но все в их руках, при их желании.