Вправе ли работодатель не оплатить в текущем месяце "больничный лист", если не закрыт или он закрыт 31 числа?

смотря когда они зп закрывают в основном до конца месяца. а значит не обязан темболее не закрытый

Начисление по б/листу производиться в течение 10 дней со дня сдачи его в бухгалтерию, выплата производится в ближайший день выплаты з/платы на предприятии. Трудовой кодекс здесь совершенно ни при чем, для этого есть федеральный закон №255-фз от 29.12.2006 г. , где всё четко прописано.
Таким образом, если вы даже сдадите больничный за 2-3 дня до выплаты з/платы, вам его не обязаны тут же и оплатить. 10 дней на расчет и только в следующий зарплатный день - выплата.
А "демонстрировать" вообще бесполезно, это деньги ФСС и бухгалтер несет за свои действия ответственность, зачем ему лишние проблемы?

Незакрытый больничный лист не оплачивается. А если его закроют 31 января, то оплатят в январе, так как бухгалтерия до 11 января не работает.

Да, потому что расчетные листки в этом месяце уже закрыты. Вам оплатят в следующем месяце.

Оплачивается только полностью оформленный и закрытый документ, а не тот, который не оформлен должным образом (только при закрытии больничного ставят необходимые печати и подписи) и котрый только "продемонстрировали" а не сдали для оплаты.

Во-первых, оплачивается больничный лист только когда он уже сдан и обработан (подписи, стаж и пр. ) Демонстрировать больничный главбуху или директору незачем, оплачивается любой документ только полностью оформленный. Во-вторых, табель учёта рабочего времени, как правило, закрывается и передаётся в бухгалтерию для расчета зарплаты не в последний день, а на несколько дней раньше, поэтому закрытый 31-го числа больничный скорее всего не попадёт в оплату за текущий месяц и будет оплачен в следующем месяце.
Думаю, отдельный нормативный акт на этот счет и искать незачем, это вытекает из существующих правил учёта рабочего времени и бухгалтерского учета. 1). Нет человека на работе, значит и "восьмёрки" нет. 2). Бухгалтерия принимает для оплаты только полностью оформленные документы.

Вправе не оплатить в текущем месяце

Конечно, имеет право.
Зачем всё обострять и копать так глубоко? Хотите лишиться работы?

Вправе, т. к. расчет з/п происходит до определенного числа, в декабре это еще до 25-го во многих организациях. Поэтому расчет ложится на следующий месяц. Если же б/л не закрыт, то говорить о его оплате вообще нельзя, т. к. бухгалтерия может расчитать ТОЛЬКО закрытый б/л, где есть отметки руководителя, подпись и печать.