Можно ли уволиться без отработки, если ребенку 12 лет? Если нет, есть ли другие способы?

Да в заявлениии пиши с переездом в другой город

Есть - по договоренности с работодателем

Наличие ребенка не является основанием для увольнения работника без предупреждения работодателя за две недели.
В ряде случаев ст. 80 ТК РФ предусматривает обязанность работодателя расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
Такая обязанность наступает в случаях, обусловленных невозможностью продолжения работником работы (например, поступление в образовательное учреждение, переход на пенсию, переезд в другую местность и др.) , а также в случаях нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора.

у сторон трудового договора имеются взаимные права и обязанности:
в силу положений статей 22, 70, 71, 80, 189, 292 тк рф: работодатель имеет право требовать от работника исполнения им трудовых обязанностей; дисциплина труда - обязательное для всех работников подчинение правилам поведения; работник, в случае если трудовой договор заключен не на срок до двух месяцев, истек срок испытания, имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее, чем за две недели. .
каких либо условий сокращающих срок кодекс не содержит, за исключением соглашения сторон и моментов, указанных в статье 80 кодекса, а именно: когда заявление работника об увольнении по его инициативе обусловлено невозможностью продолжения им работы, а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства. .

Трудовой договор может быть расторгнут в любой срок по соглашению сторон (работник и работодатель) . Пишите заявление на увольнение по соглашению сторон. Ст 77 п 1 ТК РФ. В заявлении пишите дату последнего дня работы.

Отработки не существует. Существует предупреждение.
Можете договориться с работодателем.

можно

Если работодатель категоричен и из вредности хочет чтоб вы отработали 2 недели можно уйти на больничный, тогда дни болезни будут учтены в счет этих двух недель (т. е если больничный на 14 дней то после выхода с больничного вам не надо будет отрабатывать дополнительно еще 2 недели) , а вообще конечно нужно предупреждать заранее и отнестись с пониманием к просьбе об отработке, ведь на вас рассчитывали!