А если во время отпуска работник заболел, то отпуск продлевается на колличество дней которых проболел работник?

да, продлевается
Статья 124. Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска

Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях:
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
временной нетрудоспособности работника;
исполнения работником во время ежегодного оплачиваемого отпуска государственных обязанностей, если для этого трудовым законодательством предусмотрено освобождение от работы;
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
в других случаях, предусмотренных трудовым законодательством, локальными нормативными актами.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
Если работнику своевременно не была произведена оплата за время ежегодного оплачиваемого отпуска либо работник был предупрежден о времени начала этого отпуска позднее чем за две недели до его начала, то работодатель по письменному заявлению работника обязан перенести ежегодный оплачиваемый отпуск на другой срок, согласованный с работником.
(часть вторая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
В исключительных случаях, когда предоставление отпуска работнику в текущем рабочем году может неблагоприятно отразиться на нормальном ходе работы организации, индивидуального предпринимателя, допускается с согласия работника перенесение отпуска на следующий рабочий год. При этом отпуск должен быть использован не позднее 12 месяцев после окончания того рабочего года, за который он предоставляется.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
Запрещается непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска в течение двух лет подряд, а также непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска работникам в возрасте до восемнадцати лет и работникам, занятым на работах с вредными и (или) опасными условиями труда.

Если вы получили больничный лист, то с ним идёте в отдел кадров и там согласуете длительность и время отпуска. Очень может быть, что сразу могут отозвть, но потом всё равно обязана недогуленные дни предоставить.

Мне продлили.

Оформляется приказом : в связи с временной нетрудоспособностью такого-то продлить ежегодный оплачиваемый отпуск до 00.

Да, конечно!

ДА! раздел 5, глава 19,статья 124.

продлевается, если взять больничный

Да