как правильно уволить работника за неисполнение Должностных обязанностей согласно должностной инструкции?

Уволить за неоднократное (то есть два и более раз) неисполнение без уважительных причин трудовых обязанностей можно при условии, что к работнику ранее было применено дисциплинарное взыскание и на момент повторного неисполнения им без уважительных причин трудовых обязанностей оно не снято и не погашено.
До применения дисциплинарного взыскания работодатель должен затребовать письменное объяснение с работника. Если по истечении двух дней объяснение работником не предоставлено, то составляется соответствующий акт. Непредставление работником объяснения не является препятствием для применения дисциплинарного взыскания.
Приказ о дисциплинарном взыскании с указанием мотивов его применения должен быть объявлен работнику под роспись в течение трех рабочих дней со дня его издания, не считая времени отсутствия работника на работе. Если работник отказывается ознакомиться с указанным приказом под роспись, то составляется соответствующий акт.
Два взыскания достаточно, чтобы уволить сотрудника по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ.

Факт невыполнения оформить актом с 3 подписями-свидетелями. Есть ли его подпись под должностной инструкцией, что ознакомлен? А то могут быть проблемы, его потом восстановят через суд, вы оплатите ущерб.

пишете докладную, берете объяснения, все действия в соответствии с ТК, налагаете выговор, затем за повторное неисполнение снова докладная, а за повторное можно и уволить

Т. е. Вы обязаны будете в суде (а суд по поводу незаконного увольнения будет) доказать, что выговора были обоснованы. Премирование - это стимулирующая выплата, к взысканиям не относится, по выговорам - нужна квалификационная комиссия с соответствующим заключением. Имейте в виду - в 99% случаев суд встает на сторону работников