Работодатель должен отдать копию трудового договора?

Обязан, если не хочет, пишите заявление. Согласно ст. 62 ТК РФ прошу предоставить мне в трёхдневный срок, на руки документы, связанные с работой, копию приказа о принятии на работу, мой оригинал трудового договора, справку 2НДФЛ.
Одно начальнику на втором подпись и печать, что приняли, или по почте, заказным с уведомление о вручении и описью, о вложении, письмом.
Сходите на консультацию в трудовую инспекцию, это бесплатно и познавательно.

не должен, а обязан!

Обязан. Причем сразу. Как только вы и он поставили подпись, а он еще и печать - договор считается заключенным. Подпись желательно свою ставить на каждом листе. Практикуются трюки, когда работник подписывает договор только в конце, а работодатель под предлогом снять для вас ксерокопию ("чуть позже, ксерокс не работает, секретарь обедать ушла") меняет нужный для себя текст в нужных пунктах и вам в заверенном виде выдается не то, что вы читали и с чем были согласны, а вариант работодателя, только уже с подписями и печатями. Потом вы вдруг открываете и читаете всякую хрень, но подпись ваша уже стоит. И ничего не докажешь. Так что как только подписали договор на каждой странице и на последней - второй экземпляр должен быть как первый и выдан вам немедленно. Если захотят сделать ксерокопию, советую стоять рядом и наблюдать за процессом. Ксерокопия должна быть заверена синей или фиолетовой печатью, а не просто ксерокопия для вас с черными печатями и ксерокопией подписи. Это очень важный момент. На этом хитрецы играют и успешно.

Два экземпляра договора -оригинала! Один -работнику!

трудовой договор составляется в 2-х экземплярах, для обеих подписывающих сторон.

Не должен, а обязан, т. к. трудовой договор составляется в соответствии с нормами ТК РФ в 2-х экземплярах, каждый из которых находится у сторон трудового договора

Что значит отдать? При заключении трудового договора, второй экземпляр остается на руках у работника. При увольнении каждая сторона остается также со своим экземпляром ТД. выдаче подлежит только трудовая книжка.