работал 5месяцев, трудовой договор есть.Имеет ли право работодатель при увольнении рассчитать без отпускных?

В соответствии со ст. 127 Кодекса при увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.
Компенсация за неиспользованный отпуск выплачивается независимо от основания увольнения.
В случае, когда рабочий год полностью не отработан, дни отпуска, за которые должна быть выплачена компенсация, рассчитываются пропорционально отработанным месяцам. При этом излишки, составляющие менее половины месяца, исключаются из подсчета, а излишки, составляющие не менее половины месяца, округляются до полного месяца.
В соответствии со ст. 139 ТК РФ средний дневной заработок для выплаты компенсации за неиспользованные отпуска исчисляется за последние 12 календарных месяцев путем деления суммы начисленной заработной платы на 12 и на 29,4 (среднемесячное число календарных дней) .
Компенсация за неиспользованный отпуск при увольнении определяется путем умножения среднего дневного заработка работника за расчетный период на количество не использованных за время работы в организации дней отпуска исходя из расчета 2,33 дня отпуска за 1 месяц.

При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.

http://www.zakonrf.info/tk/127/
http://www.consultant.ru/popular/tkrf/14_25.html#p2450

Работали то вы по договору. А договор на постоянную работу, временную или просто разовые сдельные работы, без зачисления в штат?
Если по постоянному месту работы - то отпускные за 5 месяцев (полных отработанных) - 10 дней.
Если временная работа - то смотрите как заключали договор что там прописано. Если нет пункта об отпускных, то могут и не начислить.
Если договор на сдельные работы - то выплата только по договору, никаких отпускных не причтётся.

Не имеет. Если рассчитал без компенсации отпуска, обращайтесь в суд.

нет

Нет. то есть совсем нет...