Можно ли написать заявление и в этот же день идти в отпуск?

Нет, не можете, у Вас нет такого права. Статьей 123 ТК РФ установлено, что очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков. В ст. 122 ТК РФ установлено, что оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно.
Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя.
Правило, предусмотренное ч. 2 ст. 122 ТК РФ, означает, что через шесть месяцев работник заработал себе право на использование отпуска, и этот отпуск ему должен быть предоставлен до окончания рабочего года.
Поскольку в законе не указано, что отпуск предоставляется или что отпуск должен быть предоставлен по истечении шести месяцев, то данную норму не следует рассматривать, как императивную, т. к. в тех случаях, когда законодатель возлагает на работодателя обязанность предоставления отпуска, в законе используется формулировка «предоставляется» или «должен быть предоставлен» (например, в ч. 1 и ч. 3 ст. 122 ТК РФ) , а в ч. 2 ст. 122 ТК РФ такая обязанность для работодателя не предусмотрена. Те категории работников, которым работодатель обязан предоставить отпуск по заявлению четко определены в законе, а вновь принятые работники там не указаны.
При приеме на работу нужно согласовать с работодателем время использования первого отпуска. И этот момент должен наступить до конца первого рабочего года, поскольку согласно ч. 1 ст. 122 ТК РФ оплачиваемый отпуск должен предоставляться работникам ежегодно.
По соглашению сторон оплачиваемый отпуск Вам может быть предоставлен и через шесть месяцев продолжительностью 28 календарных дней.

все по согласованию с руководством

Вообще-то в отпуск идут согласно графику, который составляется до начала года.

Заявление на отпуск вообще не предусмотрено ТК РФ, поскольку статья 123 регулирует предоставление отпуска только графиком отпусков. Но в повседневной работе случается всякое, поэтому такой вопрос, как уход в отпуск надо решать по согласованию с работодателем. Поскольку оформлением отпусков занимается отдел кадров, там вам и подскажут, когда и как писать заявление и писать ли его вообще

в силу положений статьей 122, 123 тк рф: очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, который обязателен для сторон трудового договора; по соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев. .

дело в том что составляются заранее графики отпусков и вы идете по графику. если вы хотите перенести свой отпуск, то должны заранее написать заявление чтобы работодатель мог поменять вас с кем-либо. и отработав пол года вы имеете право только на половину отпуска. а не полный. брать в любое удобное время отпуск могут только некоторые граждане например мужчина если жена у него в отпуске по уходу за ребенком.
а так только заранее потому что вам же еще должны отпускные начислить

Если нет графика отпусков, то заявление на отпуск Вы можете написать, но его надо согласовать с работодателем.

Если работодатель в лице Генерального, бухгалтера и кадровика не против, то можно, при условии, что вы отпахали в конторе не менее 6 месяцев. Но имейте ввиду, что вас надо будет включить в график отпусков. А по графику отпусков бухгалтер расчитывает з/п и прочие дела. А тут вы с отпуском, который уже и непонятно куда вклинить, потому что вам моча в голову стукнула прям сейчас уйти в отпуск. Вы просто подставите человека (бухгалтера и кадровика) и добавите им лишнего геморроя. Так что не только по закону, но и по правилам хорошего тона хорошо бы всегда заранее сообщать об этом работодателю.

p.s. В идеале, график отпусков кадровик составляет за месяц, за два до первого чужого отпускного периода, и составляет его на полгода или сразу на год. Хотите изменить график, пишите заявление на имя ген. дир-а в установленном порядке "об изменении отпускного периода".

Впринципи можно просто перестать выходить на работу на период отпуска, а потом через хорошего врача написать справку что реально болели))