нужно ли отрабатывать две недели при увольнении

В соответствии со ст. 80 ТК РФ вы не должны отрабатывать, а вы должны предупредить работодателя о своем желании уволиться по собственному желанию за 2 недели (при испытательном сроке за 3 дня) . Две недели даются работодателю-подобрать замену увольняемому сотруднику, а работнику-принять окончательное решение. Если передумаете увольняться, то можете отозвать заявление и не будете уволены. Во время срока предупреждения вы не обязательно должны работать, вы можете написать заявление и уйти на больничный и это время будет засчитано в срок предупреждения. Вы так же можете договориться с работодателем и расторгнуть трудовой договор раньше срока предупреждения. По истечении срока предупреждения, вы имеете полное право прекратить работу, а работодатель обязан в последний рабочий день (он же день увольнения) произвести с вами окончательный расчет: выдать недополученную з/плату+компенсацию за неиспользованные дни отпуска и выда ть в конце дня трудовую книжку.

Трудовой договор, заключенный как на определенный, так и на неопределенный срок, может быть расторгнут в любое время, если его стороны - работник и работодатель придут к соглашению об этом.
Пленум Верховного суда Российской Федерации в постановлении от 17 марта 2004 г. разъясняет следующее. При рассмотрении споров, связанных с прекращением трудового договора по соглашению сторон (пункт 1 статьи 77, статья 78 ТК РФ) , судам следует учитывать, что в соответствии со статьей 78 Кодекса при достижении договоренности между работником и работодателем трудовой договор, заключенный на неопределенный срок, или срочный трудовой договор может быть расторгнут в любое время в срок, определенный сторонами. Аннулирование договоренности относительно срока и основания увольнения возможно лишь при взаимном согласии работодателя и работника.
В том случае, если специальная процедура прекращения трудового договора по соглашению сторон предусмотрена заключенным трудовым договором, она должна быть исполнена сторонами при прекращении данного договора.
Все договоренности по поводу увольнения по соглашению сторон должны быть внесены в текст соглашения:
последний день работы
сумма компенсации ( если таковая есть)
способ выдачи денежных средств (наличный расчет, банковский перевод)
В любом случае выплачивается заработная плата за последний месяц, компенсация за неиспользованный отпуск.
Если дополнительных условий не предусматривается работник может написать заявление об увольнении по соглашению сторон, этого вполне достаточно. Резолюция с подписью работодателя означает что стороны пришли к соглашению.
Отличие увольнения по соглашению сторон от увольнения по собственному желанию в том что оно безотзывно.

так же и оплачиваться должны...

Это не отработка. По КЗОТу Вы обязаны предупредить руководство за 14 календарных дней. А уволить Вас могут после подачи заявления либо сразу, либо после 14 дн. (на усматрение администрации)

на усмотрение работодателя

обычно по решению администрации фирмы
а может есть ещё какие-то уважительные причины, чтобы не отрабатывать
но я их не знаю

да!