должна ли я отрабатывать 2 недели после написания заявления на увольнение?

Это право работодателя (не обязанность) - обязать Вас работать еще в течение двух недель с момента подачи (вручения) ему заявления об увольнении по собственному желанию.
И сие обстоятельство Вам доходчиво, со ссылкой на соответствующую ст. ТК РФ, было разъяснено, однако.. .
Законом нельзя все учесть и предвидеть.
Есть такая лазейка, если, уж, крайне необходимо приступить к работе на новом месте:
Пишите заявление на увольнение, срочно уходите на больничный, назавтра же приступаете к новой работе с оформлением новой трудовой книжки. Старую заберете позже. Делается это без лишнего шума и ненужной скандальной риторики. .

Чревато, конечно, но, если очень надо.. .
"Обстоятельства творят человека в такой же степени, в какой и человек творит обстоятельства" - К. Маркс

по закону - да

В соответствии со ст. 80 ТК РФ работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет (ч. 5 ст. 80 ТК РФ) .

Если работодатель по-хорошему раньше не отпустит, то да.

Да
но за это и заплатить должны

Да в соответствии со ст. 80 ТК РФ работник имеет право расторгнуть ТД, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за 2 недели, течение этого срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении, НО
Ст. 79 ТК РФ Расторжение трудового договора по соглашению сторон.
Трудовой договор может быть расторгнут в любое время по соглашению сторон трудового договора.
Просите работодателя уволить по этой статье, постарайтесь уговорить!! !
Удачи!

да, должна

В ТК так же прописано, что при наличии уважительной причины ( смена места жительства и т. д.) , данный срок может быть меньше. По мимо того, что бы избежать двух недельной отработки, после написания заявления на увольнение, можно уйти на больничный ( срок при этом не прерывается) , или же написать заявление во время отпуска.

Конечно должны! В законодательстве на этот случай всё чётко прописано. ))