кто должен заполнять трудовую книжку?

ст. 66 ТК РФ Трудовая книжка.
Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.

Форма, порядок ведения и хранения трудовых книжек, а также порядок изготовления бланков трудовых книжек и обеспечения ими работодателей устанавливаются уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.
Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях за успехи в работе. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.
По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.
Из этого следует, что трудовую книжку заполняет работодатель, если в организации должность кадровика вакантна, то заполняет её любое лицо (включая директора) , на которое возложены эти обязанности.

Это работа отдела кадров.

Инспектор отдела кадров.

в силу положений статьи 66 тк рф: работодатель ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной..

По Правилам ведения и хранения трудовых книжек заполнением занимается должностное лицо, определенное приказом директора по предприятию.

в организации приказом назначается человек, ответственный за хранение и заполнение труд книжек. и это не обязательно кадровик.

отдел кадров

Отдел кадров, а там где его нет-бухгалтер или владелец фирмы

отдел кадров.